Filtre passe bas

• N : ordre du filtre
• ε: paramètre contrôlant l’ondulation dans la bande passante
• T_N : polynôme de Tchebycheff T_N(x)=2x.T_N-1(x)-T_N-2(x) avec T₀(x)=1 et T₁(x)=x
• w_C: pulsation de coupure en rad.s^-1. w : pulsation en rad.s^-1 avec w =2π.f   ; f : fréquence en Hertz.

Réponses de filtres passe-bas de Tchebycheff :

Prototype passe bas normalisé de Tchebycheff en « échelle » :

Synthèse du prototype passe bas normalisé de Tchebycheff en « échelle » :

Impédance de normalisation : R’₀=1W (G’₀=1W^-1, g₀=1)

Pulsation de coupure normalisée w’_C=1rad.s^-1

L_Ar : ondulation exprimée en dB.

Il faut ensuite procéder à la transformation de fréquence Passe Bas Normalisée => Passe Bas et à la dénormalisation sur 50Ω.

On obtient alors un filtre en passe bas de Tchebycheff en « échelle »(capacités parallèles C_i, inductances séries L_i), qui présente une fréquence de coupure répondant au gabarit souhaité, et qui fonctionne dans un environnement 50Ω

Les capacités et les inductances du filtre en échelle synthétisant la réponse en fréquence souhaitée sont réalisées par des tronçons de lignes courts par rapport à la longueur d’onde à la fréquence de coupure du filtre. Ces composants sont dits semi-localisés.

Toutes les capacités parallèles sont réalisées avec des tronçons de ligne d’impédance caractéristique Z_capa faible (typiquement autour de 25W) se traduisant par des tronçons de lignes de largeur W_capa. Pour un filtre donné, les tronçons de ligne synthétisant les capacités ont tous la même largeur W_capa, c’est donc la longueur de chaque tronçon qui fixe la valeur de la capacité synthétisée.

Pour réaliser une capacité parallèle de valeur C_i, la longueur l_capa du tronçon de ligne est déterminée par :

_{εreff capa} : permittivité diélectrique relative effective pour une ligne de largeur W_capa gravée sur le substrat retenu.

On procède de manière identique pour les inductances séries en utilisant des lignes d’impédance caractéristique Z_ind élevée (typiquement autour de 100W). Les tronçons de lignes inductives sont donc très fins et tous de largeur W_ind proche de la limite technologique réalisable sur le substrat retenu.

Pour réaliser une inductance série de valeur L_i, la longueur l_ind du tronçon de ligne est déterminée par :

_{εreff ind} : permittivité relative effective pour une ligne de largeur W_ind gravée sur le substrat retenu.

La mise en cascade de capacités parallèles et de selfs séries pour réaliser la fonction de filtrage passe bas modélisée par le filtre en échelle se traduit en technologie microruban par le circuit « conducteur » suivant :

Circuit « conducteur » d’un filtre passe-bas en technologie microruban (N=5)

W₀ : largeur des lignes d’accès d’impédance caractéristique Z₀ (généralement 50Ω).

Remarque : Il est nécessaire de retoucher légèrement les longueurs des tronçons de lignes pour compenser les effets des discontinuités en largeurs.