L’article filtre passe bande à stubs permet de comprendre et d’analyser la synthèse d’un filtre passe-bande large bande à stubs en circuit ouvert ou en court circuit [1, p.595-608] en technologie microruban .
Filtre passe bande à stubs en court circuit
La figure 1 montre un schéma « ligne » d’un filtre passe-bande à stubs en court-circuit d’ordre 4. Ce filtre est constitué de quatre stubs λ0/4 en court-circuit placés en parallèle et interconnectés par trois lignes λ0/4 [1, p.595-599]. λ0 est la longueur d’onde dans le milieu de propagation à la fréquence centrale f0 du filtre. Les stubs en court-circuit synthétisent les résonateurs du filtre passe-bande couplés par des lignes quart d’onde synthétisant des inverseurs d’admittance. Sur le schéma, YA et YB désignent les admittances d’entrée et de sortie du filtre, Y1, Y2, Y3 et Y4 sont les admittances caractéristiques des quatre stubs en court-circuit (résonateurs) et Y12, Y23 et Y34 sont les admittances caractéristiques des trois lignes d’interconnexion (inverseurs d’admittance).
Figure 1. Schéma « ligne » d’un filtre passe-bande à stubs en court-circuit d’ordre 4.
Ensuite, il faut spécifier la bande passante relative w (w = (BP)/f0) et les admittances d’entrée (YA) et de sortie (YB) du filtre. Il est possible alors de calculer les admittances caractéristiques des stubs en court-circuit et des lignes d’interconnexion à l’aide des équations (1) à (10) [1, p.597] :
où d est un nombre sans dimension (0< d ≤ 1) servant notamment à régler le niveau des admittances à l’intérieur du filtre pour que les stubs et les lignes d’interconnexion soient réalisables.
Les admittances caractéristiques des quatre stubs en court-circuit sont données par les équations (7) à (9) :
Les admittances caractéristiques des lignes d’interconnexion sont données par l’équation (10) :
Remarque : Les équations (1) à (10) sont valables pour une pulsation de coupure du filtre prototype passe-bas wc’ = 1 rad/s.
Exemple de Synthèse d’un filtre d’ordre 4 avec f0 = 1.5 GHz et BP =750 MHz
Pour concevoir un filtre passe bande d’ordre 4, on a choisi d’utiliser l’approximation de Tchebyscheff avec une ondulation dans la bande passante Am = 0.01 dB. les coefficients gk du filtre prototype passe-bas sont donnés par le tableau 1 pour Am=0.01 dB. D’après ce tableau, pour un ordre défini n = 4 on a : g0 = 1, g1 = 0.7128, g2 = 1.2003, g3 = 1.3212, g4 = 0.6476, g5 = 1.1007.
Tableau 1 : Valeurs des coefficients gk d’un filtre passe-bas normalisé de Tchebyscheff avec Am = 0.01 dB, g0 = 1 et ωc’ = 1 rad/s. D’après [1, p. 100].
Sachant que le filtre sera alimenté par des lignes d’impédance caractéristique 50 Ω (ZA = ZB = 50 Ω → YA = YB = 0.02 S), Nous pouvons déterminer à l’aide des équation précédentes (1-10) les valeurs des impédances caractéristiques Z1, Z2, Z3, Z4, Z12, Z23 et Z34 pour des valeurs différentes de d : 0.3, 0.6, 0.9 et 1.0.
- Pour d = 0.3 : Z1 = Z4 = 35.8 Ω, Z2 = Z3 = 106.2 Ω, Z12 = Z34 = 83.8 Ω, Z23 = 147.2 Ω.
- Pour d = 0.6 : Z1 = Z4 = 42.4 Ω, Z2 = Z3 = 47.8 Ω, Z12 = Z34 = 59.2 Ω, Z23 = 73.6 Ω.
- Pour d = 0.9 : Z1 = Z4 = 50.0 Ω, Z2 = Z3 = 30.1 Ω, Z12 = Z34 = 48.4 Ω, Z23 = 49.1 Ω.
- Pour d = 1.0 : Z1 = Z4 = 52.8 Ω, Z2 = Z3 = 26.7 Ω, Z12 = Z34 = 45.9 Ω, Z23 = 44.2 Ω.
Apres analyse la valeur de d qui permet d’obtenir des impédances caractéristiques Z12, Z23 et Z34 proches de 50 Ω est 0,9. En effet ces valeurs sont facilement réalisables en technologie microruban.
Nous décidons de réaliser ce filtre en technologie microruban sur substrat (εr = 3.8, tan(δ) = 0.007) d’épaisseur h = 0.711 mm (métallisation en cuivre d’épaisseur t = 17 μm). Pour remarque, la précision de gravure des pistes métalliques impose que la largeur W des pistes métalliques soit supérieure ou égale à Wmin = 0.15 mm. Le filtre avec d = 0.3 est-il réalisable.
Le tableau 1 présente les largeurs de ruban des lignes microruban d’impédances caractéristiques calculé à l’aide du calculateur Elliptika nécessaire à la construction du filtre avec d = 0.9.
Tableau 2. Valeurs des largeurs de ruban des lignes d’impédances caractéristiques Z1 = Z4 , Z2 = Z3 , Z12 = Z34 = , Z23, nécessaires à la construction du filtre pour d = 0.9.
A l’aide d’un logiciel de simulation tel que ADS nous réalisons une simulation circuit entre 0 et 3 GHz du filtre défini d’ordre 4 avec d = 0.9 dans les versions « lignes idéales » et « lignes microruban » jusqu’à 10 GHz. La figure 2 montre les réponses en fréquence des modules des paramètres de réflexion (Sii) et de transmission (Sij, avec i ≠ j) du filtre d’ordre 4 avec d = 0.9 dans les versions « lignes idéales » (S11 et S21, courbes noires) et « lignes microruban » (S33 et S43, courbes bleues) obtenues lors d’une simulation circuit.
Figure 2. Réponses en fréquence des modules des paramètres de réflexion (Sii) et de transmission (Sij, avec i ≠ j) du filtre d’ordre 4 avec d = 0.9 dans les versions « lignes idéales » (S11 et S21, courbes noires) et « lignes microruban » (S33 et S43, courbes bleues) obtenues lors d’une simulation circuit.
Sur la figure 2, on observe trois réponses harmoniques du filtre passe-bande centrées sur f = f0 = 1.5 GHz (harmonique 1), f = 3*f0 = 4.5 GHz (harmonique 3) et f = 5*f0 = 7.5 GHz (harmonique 5). On voit également que le filtre en « lignes microruban » comporte des pertes d’insertion contrairement au filtre en « lignes idéales » qui n’en a pas.
Filtres passe-bande à stubs en circuit ouvert
La figure 3 montre un schéma « ligne » d’un filtre passe-bande à stubs en circuit ouvert d’ordre 4. Ce filtre est constitué de quatre stubs λ0/2 en circuit ouvert placés en parallèle et interconnectés par des lignes λ0/4 [1, p.605-608]. λ0 est la longueur d’onde dans le milieu de propagation à la fréquence centrale f0 du filtre. Les stubs en circuit ouvert synthétisent les résonateurs du filtre passe bande couplés par des lignes quart d’onde synthétisant des inverseurs d’admittance. Sur le schéma, YA et YB désignent les admittances d’entrée et de sortie du filtre, Y1, Y2, Y3 et Y4 sont les admittances caractéristiques des quatre stubs en circuit ouvert (résonateurs) et Y12, Y23 et Y34 sont les admittances caractéristiques des trois lignes d’interconnexion (inverseurs d’admittance).
Figure 3 Schéma « ligne » d’un filtre passe-bande à stubs en circuit ouvert d’ordre 4.
Afin d’obtenir un filtre passe-bande à stubs en circuit ouvert fonctionnant toujours à 1,5 GHz , nous remplaçons les stubs λ0/4 en court-circuit du filtre d’ordre 4 avec d = 0.9 présenté ci-dessus, par des stubs λ0/2 en circuit ouvert.
La figure 4 montre les réponses en fréquence des modules des paramètres de réflexion (Sii) et de transmission (Sij, avec i ≠ j) du filtre à stubs en circuit ouvert dans les versions « lignes idéales » (S11 et S21, courbes noires) et « lignes microruban » (S33 et S43, courbes en pointillés rouges) obtenues lors d’une simulation circuit.
Sur la figure 4, on observe la réponse fondamentale (harmonique 1 centrée sur f = f0 = 1.5 GHz) du filtre passe-bande. Il est important de souligner la présence de deux zéros localisés à f = f0/2 = 0.75 GHz et f = 3f0/2 = 2.25 GHz sur la réponse en fréquence du module du paramètre de transmission du filtre.
Figure 4. Réponses en fréquence des modules des paramètres de réflexion (Sii) et de transmission (Sij, avec i ≠ j) du filtre à stubs en circuit ouvert dans les versions « lignes idéales » (S11 et S21, courbes noires) et « lignes microruban » (S33 et S43, courbes en pointillés rouges) obtenues lors d’une simulation circuit.
Comparaison des réponses des filtres à stubs en circuit ouvert et à stubs en court-circuit.
La figure 5 montre les réponses en fréquence des modules des paramètres de réflexion (Sii) et de transmission (Sij, avec i ≠ j) des versions « lignes microruban » des filtres à stubs en court-circuit (S11 et S21, courbes bleues) et à stubs en circuit ouvert (S33 et S43, courbes en pointillés rouges) obtenues lors d’une simulation circuit.
En observant la figure 5, on constate que la bande passante du filtre à stubs en circuit-ouvert est plus faible que celle du filtre à stubs en court-circuit.
Figure 5. Réponses en fréquence des modules des paramètres de réflexion (Sii) et de transmission (Sij, avec i ≠ j) des versions « lignes microruban » des filtres à stubs en court-circuit (S11 et S21, courbes bleues) et à stubs en circuit ouvert (S33 et S43, courbes en pointillés rouges) obtenues lors d’une simulation circuit.
L’origine des zéros de transmission observés aux fréquences f0/2 et 3f0/2 sur la réponse en fréquence du paramètre de transmission du filtre à stubs en circuit ouvert.
Les zéros de transmission des filtres à stubs en circuit ouvert et à court-circuit apparaissent lorsque l’impédance ramenée par les stubs au niveau des inverseurs d’admittance est égale à 0 (court-circuit).
Les impédances d’entrée des stubs en circuit ouvert (ZOC) et en court-circuit (ZSC) sont données par les équations (11) et (12).
Sur la figure 4, on observe la réponse fondamentale (harmonique 1 centrée sur f = f0 =1.5 GHz) du filtre passe-bande. Il est important de souligner la présence de deux zéros localisés à f = f0/2 = 0.75 GHz et f = 3f0/2 = 2.25 GHz sur la réponse en fréquence du module du paramètre de transmission du filtre.
où Zc et l sont respectivement l’impédance caractéristique et la longueur du stub et λg est la longueur d’onde guidée.
En exploitant les équations (11) et (12), on trouve que :
où k est un nombre entier positif ou nul.
On en déduit que :
Le premier zéro de transmission induit par les stubs en circuit ouvert est obtenu à la fréquence f0/2 = 0.75 GHz pour laquelle l = λg/4.
Le second zéro de transmission induit par les stubs en circuit ouvert est obtenu à la fréquence 3*f0/2 = 2.25 GHz pour laquelle l = 3*λg/4.
Le premier zéro de transmission induit par les stubs en court-circuit est obtenu à la fréquence 2*f0 = 3.0 GHz pour laquelle l = λg/2.
[1] G.L. Matthaei, L. Young et E.M.T. Jones, Microwave filters, impedance-matching networks, and coupling structures, Artech House, 1980.